Matemáticas com pompas de jabón en 2D
Tres tornillos forman un triángulo (en la imagen superior pueden verse de 2 tipos: equilátero e isósceles) y con 4 tornillos podemos obtener una forma cuadrada o trapezoidal (puede prepararse cualquier cuadrilátero). Observamos en las imágenes unos círculos graduados preparados por uno de los alumnos de Bachillerato (Javier M.) y que nos van a permitir medir ángulos.
Fácilmente se puede calcular la superficie de estas figuras geométricas (suponiéndolas planas) considerando, por ejemplo, que el lado es la unidad. Y ¿cuánto vale el perímetro?.
Está claro que entre 2 puntos (tornillos) el camino más corto es la línea recta que une ambos.
y además es la menor distancia posible, que sería 1 unidad en nuestro caso.
¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 3 tornillos?. Se podría pensar que se formaría una película que recorrería los 3 puntos y la longitud de la película jabonosa sería de 3 unidades. Aunque debemos darnos cuenta que con sólo 2 películas tendríamos unidos tamabién los 3 tornillos y el camino mínimo que uniría los 3 tornillos valdría 2 unidades.
¿Qué pasa al introducir el cd-rom? Observad la siguiente imagen:
¿Sabéis cuanto vale el ángulo entre las películas jabonosas?: 120º, lo que indica la 1ª Ley de Plateau.
Conocemos el ángulo, conocemos el valor del lado del triángulo (1 unidad), queda aplicar nociones básicas de Trigonometría para descubrir el valor de uno de estos 3 trozos. La suma de los tres trozos nos sale la raíz cuadrada de 3 = 1,732… unidades. ¡¡Hemos obtenido un camino entre los 3 tornillos menor que 2 unidades!!.
¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 4 tornillos? Si consideramos que el cuadrado tiene de lado 1 unidad, podríamos pensar en una película que recorriese los 4 tornillos y su perímetro sería 4 unidades, aunque sería más corto 3 películas con un tamaño de 3 unidades. Pero seguro que nos parece menor 2 películas por las diagonales del cuadrado y que se corten en un punto (cuya distancia a los 4 tornillos sea la menor posible)
y el cálculo de ese camino es fácil utilizando Pitágoras, obteniendo que ambos caminos suman 2 veces la raíz cuadrada de 2 = 2,82 unidades, ¡¡más corto!!. Introducimos el cd-rom y…
¡¡no es lo previsto!! . Observad el ángulo entre películas: nuevamente se respeta la 1ª Ley de Plateau (ángulo de 120ºentre las películas jabonosas).
Numéricamente obtenemoss 1 + raíz cuadrada de 3 que es más o menos 2,73 unidades, ¡¡mucho menor que lo que habíamos previsto!!
Con lo que hemos comprobado experimentalmente que “por unidad de superficie, se forma la que tenga menor recorrido“.
Hemos preparado muchos otros cds con diferentes situaciones poligonales, prediciendo lo que podía ocurrir y nos hemos sorprendido con algunos resultados experimentales. Por ejemplo, os recomiendo que preparéis un hexágono regular con 6 tornillos. ¿Qué creéis que va a ocurrir?.
Matemáticas con pompas de jabón en 3D
No hay duda de que las pompas de jabón cuadradas, cúbicas y tetraédricas han sido una de nuestras actividades estrella en la VIII Feria de la Ciencia de Sevilla y es que las pompas de jabón tienen “algo” que llama la atención a grandes y a pequeños. Como profesor debo deciros que el trabajar con pompas con mis alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato (*) en estos dos últimos meses ha sido todo un reto y una experiencia inolvidable tanto por la forma en la que se ha trabajado en el laboratorio como por los resultados obtenidos.
No voy a detallar las sesiones que hemos dedicado a descubrir los efectos de la tensión superficial de los líquidos porque, aunque muy interesante y clarificador, no quiero extenderme. Lo mejor es que te pongas manos a la obra, prepares una disolución jabonosa (1 litro de agua mineral, unas 6 cucharadas de Fairy y otras 6 de glicerina), hagas con alambre una estructura cerrada cuadrada, le anudes una pequeña cuerda en 2 lados contiguos del cuadrado, lo introduzcas en la disolución, lo saques y rompas una de las 2 películas que se te forman y..
“debes descubrir” que la tensión superficial supera a la fuerza de la gravedad (que haría caer la cuerda) y algo más importante: que la película jabonosa que se forma es la que tiene menor superficie. Este segundo detallazo es muy importante porque va a ayudarnos a descubrir lo que está pasando.
Después preparas un cubo con 12 cañitas de refresco de tamaño 10 cm, lo introduces en la disolución jabonosa y ¡déjate impresionar por la pompa cuadrada que se obtiene!:
deja cerca una cañita de refresco, moja uno de los extremos en la disolución jabonosa y el otro lo acercas al cuadrado que se ha formado. Sopla con cuidado en uno de los vértices del cuadrado:
En el siguiente vídeo puedes oir los gritos que dimos el verano pasado al descubrir como éramos capaces de formar una pompa cúbica
El asombro dura un tiempo, el suficiente para que la curiosidad “nos pique” y nos haga INVESTIGAR, ¿por qué se forma una pompa cuadrada en el interior de un cubo?. Accedemos a la wikipedia para conocer las dos primeras Leyes de Plateau y ahora, al observar la película jabonosa formada, descubrimos que en el interior del cubo hay 12 aristas y 4 vértices (del cuadrado).
Y ¿por qué no se forma una película que “recubra” las seis caras cuadradas del cubo?. Es el momento de usar las Matemáticas y aplicar los conocimientos adquiridos en Trigonometría.
Si hemos preparado un cubo de arista 10 cm, una de las cara tendrá 100 cm2 de superficie y las seis caras del cubo tendrán una superficie de 600 cm2. Al introducirlo en la disolución jabonosa se forman diferentes películas jabonosas. Vuelve a mirar en esta imagen y te ayudo a descubrir que:
se forman 8 trapecios de lado mayor 10 cm y de lado menor 2 cm (es fácil calcular la altura porque la 1ª Ley de Plateau nos indica que el ángulo entre aristas es de 120º), 4 triángulos uno de cuyos lados vale 10m y del que conocemos el ángulo contrario al lado conocido 109º28´(2ª Ley de Plateau) y 1 cuadrado en el interior de 2 cm de lado. No muestro números para no aburrir porque no tengo aún Latex instalado en este blog y para picaros aún más si cabe. Nuestros cálculos nos indican que sale una superficie de 407,35 cm2, bastante menos que los 600 cm2 de la pompa que recubriría las seis caras del cubo. Y podríamos argumentar que “por unidad de volumen (el cubo tiene un volumen de 1000 cm3) las pompas de jabón tienden a minimizar la superficie de contacto”.
Podrían plantearse otras posibles películas jabonosa ¿por qué no se unen entre sí los vértices opuestos con 4 diagonales formando un único punto central? Este hipotético punto central del cubo sería un punto que equidistaría de los 8 vértices del cubo. No es posible porque entraría en contradicción con las 2 primeras Leyes de Plateau pero podríamos “justificarlo numéricamente” sumando las áreas de los 12 triángulos iguales que hipotéticamente se formarían en su interior. Incluso hay veces que al extraer el cubo se obtienen otras superficies miniminales diferentes a las del cuadrado y cuya superficie debe estar más cercana a ésta que a la de 600 cm2.
También puedes preparar con cañitas de refresco un tetraedro de arista 10 cm introducirlo en la disolución jabonosa y soplar con suavidad en el único vértice que se forma por intersección de las 4 aristas del interior como indican las Leyes de Plateau:
y se pueden hacer números para justificar numéricamente que la película jabonosa que se forma es la que tiene una menor superficie por unidad de volumen.
Con las pompas de jabón nos hemos divertido, hemos usado las Matemáticas y hemos trabajado en Competencias.
Proyecto Integrado de Bachillerato (*)
Es una asignatura optativa de oferta obligada en Andalucía en 4º ESO y en Bachillerato, y en el que se deben desarrollar pequeñas investigaciones en las que el alumnado trabaje directamente con la documentación (independientemente del soporte) aprendiendo a aprender y a trabajar autónomamente.
En el BOJA se describe como trabajos de investigación y los profesores tenemos absoluta libertad para seleccionar los temas pero de forma que:
- Faciliten y estimulen la búsqueda de información, la aplicación global del conocimiento, de estrategias y conocimientos prácticos, capacidades sociales y destrezas diversas, no necesariamente vinculadas al currículo de las materias del curso.
- Impliquen la realización de algo tangible.
- Impliquen la transmisión de la información a los demás, dentro y/o fuera del centro educativo, sobre el trabajo o la obra realizados, las conclusiones obtenidas, etc., usando diferentes códigos de comunicación, oral y escrito, simbólico, artístico, etc., en español o en otros idiomas y apoyándose en las tecnologías de la información y la comunicación.
- Las actividades que se realicen deben conectar de alguna forma con el mundo real, para que el alumnado tenga oportunidad de aplicar e integrar conocimientos diversos y pueda actuar dentro y fuera de los centros docentes.
- Los alumnos y alumnas hagan una aproximación a lo que supone hacer un trabajo en condiciones reales (…).
- Fomenten la participación de todos y todas en las discusiones, toma de decisiones y en la realización del proyecto, sin perjuicio de que puedan repartirse tareas y responsabilidades,
- Acostumbren al alumnado a hacerse responsable, tanto de su propio aprendizaje como de la parte que le corresponda en la realización el proyecto.
Con estas puertas abiertas a la investigación comprenderéis lo apasionado que he estado en estos dos últimos meses, aunque es una pena disponer de UNA ÚNICA hora a la semana, ¿verdad?
Trabajo sobre matemáticas y pompas de jabón premiado por el departamento de matemáticas de la Complutense de Madrid
Actividades del mago moebius
Jornada del mago moebius con profesores
Vídeo en YouTube con todo muy bien resumido
RESULTADOS TEÓRICOS SOBRE POMPAS DE JABÓN
¿Por qué son las pompas de jabón tan perfectamente redondas?
Porque la esfera redonda es la forma de área minima que encierra un determinado volumen de aire, como demostró matemáticamente Schwarz en 1884. Del mismo modo la pompa doble formada por dos pompas cuando se unen es la forma de área mínima que encierra y separa dos volúmenes dados de aire:
Este hecho no fue demostrado hasta el año 2000, mediante en trabajo desarrollado por dos matemáticos de la Universidad de Granada, Manuel Ritoré y Antonio Ros, y un ex estudiante universitario de investigación Michael Hutchings, ahora profesor asociado de matemáticas en la Universidad de California, Berkeley. Se puede ver el anuncio en mi página webMathChat.
Sigue siendo una pregunta abierta hoy si la pompa triple familiar es la forma de menor área que encierra y separa tres volúmenes dados de aire.
Estas imágenes y más se deben a John M. Sullivan. Hay algunas fotos maravillosas de la explosión de una pompa debidas a Richard Heeks.
viernes, 2 de noviembre de 2007
Pompas de jabón y geometría
El profesor de matemáticas Anton Aubanell Pou, del IES Sa Palomera de la localidad de Blanes (Girona), utiliza las pompas de jabón para explicar geometría a sus alumnos. El líquido utilizado para hacer pompas de jabón está formado por agua (50%), jabón líquido de lavavajillas tipo Fairy (40%) y glicerina (10%). Para poder sumergir las estructuras que se comentan a continuación se necesita un recipiente suficientemente grande.
Se utilizan estructuras de dos tipos:
- Estructuras planas (B), formadas por dos rectangulos de plástico transparente (metacrilato) unidos mediante tornillos que los mantienen paralelos y separados unos centímetros. Estos tornillos se colocan formando diferentes figuras geométricas (triángulo, rectángulo, hexágono…).
- Estructuras poliédricas(A). Estas estructuras se pueden construir con alambre, hilo de cobre o pajitas para beber. Hay un producto de plástico llamado Zoma System que es muy útil para hacer estas figuras. Es conveniente que las aristas de estas estructuras no sean mayores de 10-12 cm.
- Para visualizar las formas obtenidas con las pompas de jabón en las estructuras planas se utiliza un proyector de transparencias.
Los líquidos tienen tendencia a reducir al mínimo su superficie exterior, gracias a la llamada tensión superficial. Es esta la razón de que las gotas de los líquidos sean esféricas, ya que para un volumen dado, la esfera es la figura que tiene una superficie exterior más pequeña.
El jabón produce la disminución de la tensión superficial de los líquidos, permitiendo su laminación en superficies mínimas, es decir, de menor área que cualquier otra superficie que se pueda inscribir en la misma estructura.
Para mostrar el efecto de la tensión superficial se dispone un alambre de hierro en forma de herradura y se ata un hilo, o cuerda fina, a sus extremos, de forma que no quede tenso. Si se introduce este montaje en el agua jabonosa, la tensión superficial estira del hilo hacia arriba para conseguir que la superficie ocupada por el agua sea mínima. Esta experiencia se muestra en la fotografía siguiente.
Con una placa plana sujeta mediante tres tornillos, que forman entre sí un triángulo, se puede conseguir que las superficies del agua, (que en el proyector de transparencias se verán como lineas negras), una vez metida la placa en el agua jabonosa, determinen el llamado Punto de Fermat. Llamamos así a aquel punto, del interior del triángulo, desde el que la suma de las distancias a los tres vértices es mínima. Los tres ángulos formados entre las lineas que confluyen en este punto son de 120º. En la siguiente fotografía se ve este punto proyectado sobre la pantalla.
Con la experiencia siguiente se resuelve el llamado problema de Stelner para cuatro puntos. Se utiliza una placa plana con cuatro tornillos formando un rectángulo. En un primer momento podríamos pensar que el camino más corto entre los cuatro vértices del rectángulo sería el formado por las dos diagonales. Al introducir la placa en el líquido jabonoso y proyectar su imagen sobre la pantalla, las pompas de jabón nos dan la solución, una especie de "H" en la que todos sus ángulos vuelven a ser de 120º. Si comprobamos las distancias resulta ser éste el camino más corto para una comunicación entre los cuatro vértices. En la siguiente fotografía se muestra este caso.
Si trabajamos ahora con una placa plana unida con seis tornillos, formando un hexágono regular, y la introducimos en el líquido jabonoso, y posteriormente, le añadimos el lado del hexágono que le falta, estaremos en condiciones de iniciar el proceso. A continuación, sí absorbemos parte del aire interior mediante una pajita, obtendremos la figura representada en la siguiente fotografía.
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