Por fin he dado cima a la ilusión de mi vida: fabricar una esfera de papel. No me gustaban esas hechas de cuñas esféricas como las que inspiran los meridianos de los globos terráqueos. Mi esfera tiene infinitos puntos, pero ese infinito es de orden inferior porque sus puntos resultan agrupados en conjuntos planarios (circunferencias). Es de cartulina reforzada, por exigencias del guión. En fin, dejemos aparte las cuestiones personales y vayamos al grano.
Como todo el mundo sabe, las cosas existen desde el Big Bang: las cosas y los animales; la esfera y el hombre, por poner un ejemplo. Naturalmente, ni la esfera ni el hombre estaban allí como se nos presentan hoy. De ello se dio cuenta enseguida Darwin que se apresuró a decir que tanto la esfera como el hombre habían llegado a su estado actual a fuerza de evolución.
Tomemos el caso del hombre. Nadie sabe cómo era éste en el instante primigenio, pero parece cierto, según los hallazgos paleontológicos, que su primitivo asentamiento estuvo en el centro de África y no en el Paraíso Terrenal de la Mesopotamia como se nos ha contado para nuestro entretenimiento, a niños y mayores que se hacen como niños.
La manzana, como recordamos todos los que estudiamos Historia Sagrada, es la protagonista del Paraíso Terrenal. He visto en Divulgamat una manzana preciosa, debidamente coloreada, que era mezcla de toro y esfera. Las manzanas han sido siempre muy dadas al protagonismo. No hay más que recordar la manzana de la discordia desencadenando la guerra de Troya (Paris y Helena), aquélla cuya caída inspiró a Newton la Ley de la Gravitación Universal o las famosas de Annie Manzanas (Bette Davis en Un gánster para un milagro) que sirvieron para que Dandy, el gánster neoyorquino (Glenn Ford), redimiera a la mendiga de su estado de ciudadana del hampa.
Redención y manzana, también en el Paraíso Terrenal. Luego llegó Milton que adornó el paraíso con luchas de ángeles y otros efectos especiales y así, evolucionando sin parar, la especie humana ha alcanzado ese grado de perfección que culmina en el recibo de la luz, difícilmente superable.
Con la esfera ha ocurrido algo parecido. No sé cómo Plutarco no incluyó en su colección de vidas paralelas la del hombre y la esfera. A lo mejor lo hizo, pero como los antiguos eran tan descuidados y lo perdían todo, quien sabe qué ha podido suceder. Sin entrar en muchos detalles, ya hemos dado un vistazo a la evolución del hombre, pero no se pierdan la de la esfera.
La esfera del Big Bang no era como la que conocemos: tenía forma de tetraedro. Pronto se dio cuenta de ello Platón que, con su concepto de la idea y un poco decut and try, engendró otros cuatro poliedros regulares mediante evolución. Platón fue el pionero de la esfera a la que se aproximó tanto como permite un icosaedro. Sabía muy bien lo que había escrito Jorge Manrique:
… que la esfera no es esfera
si no rueda
Como todos los seres tienen nombre, la esfera y el hombre, también. Quiero decir nombre científico además de nombre vulgar. Los nombres son variados según las circunstancias y las épocas. Así, antes, había homo erectus, pero de esos ya no quedan porque los hombres se inclinaron a inclinarse tanto ante el poder que, como decía un hampón de la película de Frank Capra antes referida, se les había hecho callo en el ombligo; eso era de tantas reverencias como tenían que hacer en el entrenamiento a que el Dandy los sometía para ensayar que eran personas respetables.
Así pues, el hombre se ha quedado en homo sapiens, que no sé a quien se le ha ocurrido semejante nombre, vistas las cosas que hace. Y menos mal, porque antes el hombre era poco inferior a los ángeles (Salmo 8). El Padre Feijoo explicaba esto en una de sus Paradojas Matemáticas afirmando que el hombre y el ángel eran asintóticos.
Fig. 1 |
Volviendo a la esfera, la cosa no queda en Platón, porque después vino Arquímedes que se dedicó a truncar todo lo que había hecho su antecesor y, truncando, truncando, consiguió el icosaedro truncado que es el antecedente directo del balón de fútbol (Fig. 1): de cada una de sus pirámides pentagonales cortó un pentágono y, de paso, cada triángulo equilátero quedó rebanado como hexágono. Arquímedes murió sin saberlo, pero había descubierto la Liga de Campeones. Su esfera no tenía infinitos puntos, sino solamente los 60 de sus vértices, suficientes, sin embargo, incluso para meter goles de cabeza sin riesgo de herirse con las puntas del balón. Espero que dentro de nada en todos los estadios de fútbol se erija un monumento al del ¡Eureka!
Como muy bien matizan los ingleses, el fútbol es un deporte en que unos bestias juegan a lo señorito, mientras que el rugby es un juego de señoritos que juegan a lo bestia. Así pues, el balón de Arquímedes hubo de ser mejorado por el homo sapiens mediante el inflado que era desconocido en la Magna Grecia. (Ver http://www.caprichos-ingenieros.com/papirabstracta3.html).
El perspicaz lector ya se ha dado cuenta de que se me ha olvidado citar los nombres vulgares que se asignan a hombres y esferas; helos aquí en versión sumaria: menda, tío, para el homo sapiens; bola, pelota, para la esfera. Aunque sabido es que, algunos plumillas, tanto de la palabra escrita como de la que se lleva el viento, dicen esférico. Pero eso es sólo para darse importancia delante de sus colegas.
Fig. 2 |
Se me olvidaba también lo del fullereno (Fig. 2). Como en Siracusa no existía ni Sociedad General de Autores ni Registro de la Propiedad, Arquímedes no pudo patentar su invento aunque, vaya usted a saber si Platón le hubiera dejado … El caso es que el homo sapiens que siempre se olvida de la antigüedad, patentó en 1985 el fullereno a nombre de Fuller, el arquitecto Buckminster Fuller que empleó la estructura del icosaedro truncado en la construcción de sus cúpulas geodésicas. El fullereno es una forma alotrópica estable del carbono, que se añade a las ya conocidas del diamante y el grafito (C60 -un átomo de C en cada vértice; recordar que hay en juego 60 vértices-). Podría afirmarse, en rigor, que el fullereno es también una forma alotrópica del balón de futbol porque está hecho de exágonos y pentágonos rellenando una superficie esférica.
Fig. 3 |
Hablemos ya de mis esferas, que tienen cosas muy particulares. En primer lugar debo aclarar que lo que a mí me interesaba era teselar una esfera con círculos y con sus consecuencias pero, infeliz de mí, la cosa no es tan fácil como pensaba. Pretendía que los círculos fueran todos idénticos al igual que sus interespacios, pero al avanzar el montaje ví que para estos se imponía una mezcla de triángulos, cuadriláteros y hasta pentágonos esféricos, y aún así quedaba algún que otro hueco anómalo. Lo que conseguí al final fue lo que llamo un teselado aleatorio (Fig. 3).
Curiosamente, hacía poco que había necesitado hurgar en los teselados planos (para los teselados curvo-espaciales está Gaudí) y recordaba uno en que se combinaban arcos de círculo de radios en proporción áurea que ofrecía un vistoso resultado. Sin dudarlo, acudí a la ayuda de don Fibonacci y, milagrosamente, comprobé que los pequeños círculos áureos encajaban divinamente en los huecos raros, y aparecían bien acomodados entre sus hermanos mayores.
Vengo hablando de círculos sobre una esfera sin explicar la relación entre ambas cosas. La relación es, simplemente, un cono: la generatriz de éste es el radio de la esfera, su vértice, el centro, y la circunferencia de su base queda asentada en la superficie esférica a modo de tesela. Los numerosos conos tangentes entre sí confluyen en el centro de la esfera de forma muy natural y dándole una gran consistencia. Se trata, pues, de una esfera conoidea y, además, virtual. O sea, una gavilla de cuádricas degeneradas hermanadas para formar una cuádrica perfectamente virtuosa.
No hay que decir que la esfera rueda muy bien, y es notable apreciar cómo su centro se ve des-plazándose a la altura constante de su radio, mientras la bola gira. Ésta es la primera vez que he visto el centro de una esfera. Para confirmar el fenómeno he consultado a todas las videntes que conozco, por si ellas, que ven más que nadie, habían visto alguna vez el centro de sus bolas de cristal. Ninguna tiene experiencia de haberlo visto jamás. Quién sabe si lo verán en el futuro, pues el futuro es su especialidad.
Fue esta construcción la que me condujo a esferificar los cinco sólidos platónicos. Yo los había visto antes inscritos o circunscritos a esferas y, excepcionalmente, he encontrado un pentagonododecaedro alámbrico (que sólo tiene aristas) envolviendo una esfera-globo, es decir con sus aristas tangentes a la esfera.
Yo he hecho algo parecido, pero distinto, con los cinco poliedros platónicos: he conseguido las circunferencias inscritas en sus caras para que de por sí constituyan la esfera virtual; y ello por medio de conos como expliqué más arriba. Mis esferas tienen un tamaño intermedio entre las inscritas y las circunscritas a los poliedros regulares (Fig. 4).
Fig. 4
Voy a mostrar ahora, brevemente y a título de ejemplo, el andamiaje que me ha permitido edificar la esfera icosaédrica.
Sea l el lado del triángulo de un icosaedro.
En las págs. 193 / 194 de mi libro Matemáticas y Papiroflexia ( Extraordinario 2000.pdf o http://www.caprichos-ingenieros.com/papiromat.html -ver enlace al final de la página-) se ha calculado que el radio R del icosaedro es R = 0,9510565 x l. R es algo mayor que la generatriz g del cono. Ya lo dije antes: g es el radio de mi esfera y R es el de la esfera circunscrita al poliedro.
En la pág. 193 se calcula el ángulo entre dos caras adyacentes del poliedro, que me permite dibujar en Autocad la fig. 3 de la pág. 193. Añadiendo a esa figura la posición del centro del poliedro ya determinada, puedo medir directamente la distancia del centro del poliedro al punto medio de un lado que resulta ser la generatriz del cono g = 0,809017 x l.
Esto mismo se puede calcular siguiendo el texto y las figuras de las páginas referidas pero, al ser engorroso, yo he optado por la medida directa en Autocad que se obtiene con rapidez, precisión y seguridad.
Fig. 5 |
El radio r del círculo base del cono es el de una circunferencia inscrita en un triángulo icosaédrico (Fig. 5). Que vale 1/3 de la altura de éste. Será:
r = (1/3) √(l2 – (l2 / 4)) = (√3 / 6) x l
El ángulo completo α del cono valdrá:
α = 2 arc sen (√3 / (6 x 0,809017)) = 41,81º
En las páginas 234 / 235 del mismo libro se indica cómo construir un cono a partir de su desarrollo obtenido mediante el radio de su base y la generatriz.
Recordando lo de la evolución, ya se ve que las esferas basadas en el tetraedro y el hexaedro (Figs. 6 y 7) son de rodadura prácticamente imposible; la del octaedro empieza a resultar precaria (Fig. 8 destacando sólo una mitad); la del dodecaedro (Fig. 9 mostrando un solo pentágono), medianamente aceptable, y la del icosaedro (ver Fig. 5), buena. Las otras dos esferas que he construido (de teselado aleatorio y teselado fractálico) al estar hechas de muchos más conos, resultan de excelente rodadura.
Fig. 6 | 
Fig. 7 | 
Fig. 8 |
 Fig. 9 |
Me faltaba reseñar otra particularidad platónica. Los interespacios entre circunferencias resultan de la siguiente manera en forma de polígonos regulares esféricos: triángulos en el caso del tetraedro, hexaedro y dodecaedro; cuadrados en el octaedro y pentágonos en el icosaedro.
Fig. 10 |
Hasta aquí, lo platónico y el teselado aleatorio (Fig. 3). Pero yo no quería rendirme y seguí buscando otras formas de teselación. Así es como di con la que represento en la Fig. 10, que me recuerda la esfera de Riemann. En esa figura represento una esfera teselada con círculos que de-crecen en diámetro a medida que se alejan del ecuador; naturalmente, en los polos se encuentran los más pequeños.
La esfera de Riemann es una trasposición del plano complejo, al del espacio. En el ecuador, y en cuadratura, aparecen las unidades positiva y negativa, tanto real como imaginaria. En el polo norte está el infinito, y en el sur el cero.
Lo que yo he pretendido en mi esfera es un teselado fractálico, de esos cuyas teselas tienden a cero cuando se acercan al infinito, el infinito horizonte al que nunca se llega. En mi caso el cero y el infinito son una misma cosa. Quiero decir que en mi construcción, en el límite, ambos polos estarían poblados de una cantidad infinita de círculos de radio cero. Claro que, para ello, los círculos del ecuador también se habrían hecho más pequeños, aunque siempre mayores que cero.
Cabría preguntar qué tienen que ver mis esferas conoideas con las del tipo fullereno. La Fig. 11 es un icosaedro en el que se muestran: un pentágono (rojo) rodeado de hexágonos (azules), como en el fullereno; una circunferencia (verde) inscrita en una de las caras triangulares del poliedro, y que son las bases de los conos de mi esfera; las circunferencias concéntricas con los pentágonos (amarillas), todas tangentes entre sí y que, cuando el balón se infle, quedarán asentadas en su superficie esférica.
 Fig. 11
EL SUBPRODUCTO
Fig. 12 |
Lo que viene ahora no es en realidad un subproducto, sino todo lo contrario: es un preproducto. Lo que yo quería hacer desde el principio era un montaje de conos como el de la Fig. 12, pero mientras trabajaba en él se me apareció la relación intercónica que me arrastró a la esfera y, ya en ésta, a la posibilidad de esferificar los poliedros platónicos. Terminado todo ello ya me pude dedicar con tranquilidad a la construcción de lo que ahora llamo inmerecidamente el subpro-ducto. Al construirlo me beneficié de la experiencia que acumulé fabricando conos y que me resultó de gran utilidad.
Fig. 13 |
Empecé por dibujar en Autocad la Fig. 13 en la que se exigían ciertas condiciones: el tamaño, proporciones y cantidad de conos, además de la condición fundamental de que cada vértice debía apoyarse en un punto de la generatriz del precedente de manera que el cono entrante quedara impedido de resbalar hacia fuera. Y, por supuesto, había que conseguir que el conjunto completo de los conos se cerrara en círculo, con precisión de simetría.
Así conseguí la Fig. 12, pero luego no sabía qué hacer con ella por tratarse de un conjunto frágil. Lo primero que hice fue reforzar las uniones entreconos para diseñar a continuación un asentamiento adecuado. El de la Fig. 14, que me proporcionaba estas ventajas: era un conjunto sencillo y vistoso que se logra con relativa facilidad plegando sucesivamente en monte y valle curvados; entre las dos figuras del conjunto había el necesario contraste de color y, sobre todo, se daba la facilidad de producir el ajuste fino en el desarrollo del cono negro al girar éste el ángulo preciso que requiere el encunado de una figura en la otra.
Fig.14 | 
Fig. 15 |
El conjunto final resultó ser el de la Fig. 15 que, para esos que siempre preguntan, ¿y eso qué es? hay varias respuestas: una tarta cónica, una noria, una turbina Pelton, o una anguila de mazapán de Toledo. Usted elija; que el cliente siempre tiene razón.
Pero mi amigo José Ignacio Royo Prieto, que es mucho más serio que yo, me dice que él está investigando en el Departamento de Matemática aplicada en la Universidad del País Vasco, sobre la foliación de Reeb, que es algo muy semejante a esta pintoresca cosa mía. Vean cómo la Fig. 16 le da la razón. Yo le deseo a José Ignacio todo el éxito que se merece: Los fabricantes de turbinas Pelton se lo agradecerán.
 Fig. 16
Sólidos arquimedianos (Conceptos avanzados)
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Conceptos de Matemáticas y Filosofía
Objetivo:
Los alumnos estudiarán los sólidos semiregulares o arquimedianos. Averiguarán cuántos sólidos existen, cuáles de ellos pueden construirse con el Sistema Zome y se encargarán de construir uno de ellos.
Requisitos previos
Conocimiento de polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir figuras bidimensionales y tridimensionales (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Experiencia previa en la construcción de sólidos geométricos (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II” y “Estrellas bidimensionales y tridimensionales”).
Tiempo necesario
Dos clases de 45-60 minutos.
Materiales
Dos o tres Kits Creador para 25-30 alumnos o dos kits Creador más un paquete extra de varillas azules.
4 o 6 paquetes de varillas verdes del Sistema Zome si es posible.
Polígonos de cartulina de la sección de “Materiales”
Unas tijeras por equipo
Un rollo de cinta adhesiva por equipo
Procedimiento
Prepara la clase construyendo unos cuantos polígonos regulares de papel. Una forma fácil de hacerlo es ampliando las figuras de la sección de “Materiales” al 200% o 300% y recortándolas. Para poder trabajar con ellas es mejor si se copian o se pegan sobre una cartulina.
Comienza la clase con un breve repaso de los poliedros. ¿Los poliedros están siempre formados por polígonos? ¿Cómo se llaman los poliedros? ¿Qué es un poliedro regular o un sólido platónico? (Figuras convexas con todas las caras, las aristas y los ángulos iguales) ¿Cuántos existen? (5) ¿Qué polígonos los forman? ¿Cómo se llaman? En esta lección los alumnos trabajarán con otro tipo de poliedros llamados semirregulares, o sólidos arquimedianos. ¿Por qué les llamamos semirregulares?(Se componen de más de un polígono regular y tienen vértices iguales)
Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos y reparte entre ellos las piezas del Sistema Zome, las tijeras, la cinta y los polígonos de cartulina. Su tarea es averiguar cuántos poliedros semirregulares existen utilizando los polígonos de cartulina y el Sistema Zome. ¿Cómo podemos averiguar cuántos sólidos de ese tipo existen? ¿Es un número finito o infinito? Pide a los alumnos que anoten en sus cuadernos las respuestas. Comentad las distintas estrategias que propongan los alumnos.
 Vértices posibles con varillas azules
1 pentágono, 2 hexágonos
2 pentágonos, 2 triángulos
2 decágonos, 1 triángulo
2 pentágonos, 2 triángulos
1 pentágono, 2 cuadrados, 1 triángulo
Vértices posibles con varillas verdes
2 hexágonos, 1 triángulo
2 cuadrados, 2 triángulos
3 cuadrados, 1 triángulo
2 hexágonos, 1 cuadrado
1 octógono, 1 cuadrado, 1 hexágono
1 pentágono, 4 triángulos
Vértices imposibles de construir con el Sistema Zome
1 cuadrado, 4 triángulos
1 pentágono, 4 triángulos
Una posible estrategia es decidir primero de cuántas formas pueden encajarse los polígonos para crear un vértice del poliedro. Los alumnos deben tener en cuenta que los vértices/sólidos formados por polígonos iguales constituyen los 5 sólidos platónicos o sólidos regulares. Para ser un vértice “válido” la suma de los ángulos formados por las caras debe ser menor que 360º. Los equipos deben construir tantos vértices como puedan utilizando el Sistema Zome. Pueden utilizar también los polígonos de cartulina pegándolos. Deja 25-30 minutos para que construyan las figuras. Los alumnos deben tomar notas en sus cuadernos.
 Estudiad entre todos los vértices. ¿Cuántos de los 13 posibles sólidos han encontrado los alumnos? ¿Cuántos se han podido construir con las varillas azules? ¿Cuántos han necesitado las varillas verdes? Los 13 sólidos se muestran en la tabla de la derecha. Seis de los vértices, y sus correspondientes sólidos, necesitan varillas verdes. Dos de los sólidos no pueden construirse con el Sistema Zome y deben construirse con los polígonos de cartulina.
La siguiente tarea de los equipos es elegir uno de los vértices que pueden construirse con el Sistema Zome y formar el sólido entero. Pueden aprenderse el nombre y la composición del sólido y enseñárselo al resto de la clase. La tabla de más abajo puede escribirse en la pizarra o dársela en papel a los alumnos. ¿Qué podemos decir sobre el número de los distintos polígonos de los sólidos? ¿Qué números se repiten? ¿Cómo se relacionan los números de los distintos polígonos con los sólidos platónicos?
Los sólidos de la lista fueron descritos por el matemático y filósofo griego Arquímedes (287-212 a.C.). Los sólidos arquimedianos no son habituales en la naturaleza, aunque la molécula del carbono 60 tiene forma del icosaedro truncado. Robert Curl y Richard Smalleyde la Universidad Rice de Texas, junto a Harold Kroto de la Universidad de Sussex de Inglaterra, fueron galardonados con el premio Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta molécula
Como ejercicio de ampliación puede comprobarse la fórmula de Euler en todas las figuras construidas por los alumnos.
| Nombre del sólido | Caras |
| Cuboctaedro | 6 cuadrados y 8 triángulos |
| Gran Rombicosidodecaedro o Icosidodecaedro truncado | 12 decágonos, 20 hexágonos y 30 cuadrados |
| Gran Rombicuboctaedro o Cuboctaedro truncado | 6 octógonos, 8 hexágonos y 12 cuadrados |
| Icosidodecaedro | 12 pentágonos y 20 triángulos |
| Pequeño Rombicosidodecaedro o Rombicosidodecaedro | 12 pentágonos, 20 triángulos y 30 cuadrados |
| Pequeño Rombicuboctaedro o Rombicuboctaedro | 18 cuadrados y 8 triángulos |
| Cubo romo | 6 cuadrados, 32 triángulos |
| Dodecaedro romo | 12 pentágonos y 80 triángulos |
| Cubo truncado | 6 octógonos y 8 triángulos |
| Dodecaedro truncado | 12 decágonos, 20 triángulos |
| Icosaedro truncado | 12 pentágonos y 20 hexágonos |
| Octaedro truncado | 6 cuadrados y 8 hexágonos |
| Tetraedro truncado | 4 hexágonos y 4 triángulos |
Evaluación
Observa a los alumnos mientras construyen las figuras y toman nota de sus descubrimientos. Revisa sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos de la lección, los alumnos deben construir al menos 5 de los vértices utilizando el Sistema Zome o los polígonos de cartulina. Superan ampliamente el objetivo si identifican las 13 posibilidades y averiguan cuántas pueden construirse con el Sistema Zome.
Estándares del NCTM
Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12)
Posibilidades de ampliación
Seguir trabajando en las figuras de los poliedros (construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Más trabajo con mosaicos tridimensionales (“Teselas tridimensionales” y “La ciudad colmena”).
Fórmula de Euler para poliedros (Conceptos intermedios)
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Objetivo:
Los alumnos descubrirán la fórmula de Euler para poliedros y verán que es válida para cualquier poliedro convexo.
Requisitos previos
Habilidad para construir e identificar distintos poliedros incluyendo los cinco sólidos platónicos (“Poniendo nombre a las figuras bidimensionales y tridimensionales”, “Sólidos platónicos I” y “Sólidos platónicos II”)
Tiempo necesario
Una o dos clases de 45-60 minutos.
Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.
Una patata o un trozo de espuma o corcho blanco.
Procedimiento
Comienza la clase con un breve repaso de lo que saben tus alumnos de los poliedros. ¿Qué es un poliedro o un sólido? ¿Cómo se llaman? ¿Quién sabe cuáles son los sólidos platónicos? ¿Cuántos son?¿Alguien conoce otros sólidos?
Haz en la lista una pizarra con los sólidos de la tabla de abajo. Explica a los alumnos que hay una relación numérica entre las caras, aristas y vértices de cualquier poliedro. ¿Cómo podemos encontrar esta relación? Divide la clase en grupos de cinco alumnos. Su tarea es encontrar la fórmula que relacione esos elementos. Deben comenzar construyendo cada una de las figuras de la lista. Deben copiar en sus cuadernos los nombres de todos los sólidos y hacer una tabla para anotar el número de caras, aristas y vértices ayudándose para hacerlo de las figuras que han construido.
Cuando terminen, sus tablas deben quedar así:
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Caras
|
Artistas
|
Vértices
|
Tetraedro
| 4 | 6 | 4 |
| Octaedro |
8
|
12
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6
|
| Hexaedro (cubo) |
6
|
12
|
8
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| Icosaedro |
20
|
30
|
12
|
| Dodecaedro |
12
|
30
|
20
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| Prisma triangular |
5
|
9
|
6
|
| Prisma pentagonal |
7
|
15
|
10
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| Pirámide pentagonal |
6
|
10
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6
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 Los alumnos deben seguir trabajando hasta que encuentren la relación que une las caras, las aristas y los vértices de cada figura. Probad sumando y restando los números en distintas combinaciones hasta encontrar una fórmula que proporcione siempre la misma respuesta.
Una vez deducida la fórmula correcta, escríbela en la pizarra:
Caras + Vértices = Aristas + 2
C + V = A + 2
o C + V – A = 2
 Esta fórmula se llama “Fórmula de Euler” a raíz de que el matemático suizo Leonhard Euler la descubriera en 1752. Euler demostró que la fórmula es válida para cualquier poliedro convexo, sea o no regular.
Si queda tiempo, prepara una demostración de la fórmula utilizando una patata (o un trozo de corcho blanco) y un cuchillo. Ve cortando la patata hasta que salga un poliedro cualquiera. Cuenta las caras, las aristas y los vértices ayudándote de un rotulador para marcar los elementos ya contados. Muestra en la pizarra que los números coinciden con la fórmula de Euler. Otra opción es dejar que los alumnos construyan distintos poliedros irregulares y que comprueben ellos mismos que la fórmula funciona.
 ¿Alguien sabe para qué puede servir esta fórmula? Por ejemplo, si un constructor sabe el número de varillas y conectores de una cúpula geodésica, puede calcular el número de paneles necesarios para construirla.
Evaluación
Revisa las tablas y las fórmulas de los cuadernos de los alumnos. Para superar los contenidos mínimos los alumnos deben construir y conocer el nombre de os poliedros de la lista, contar sus elementos e intentar deducir una fórmula general. Superan ampliamente esos contenidos mínimos si son capaces de explicar la fórmula de Euler.
Estándares del NCTM
Resolución de problemas matemáticos como método de investigación y aplicación (Estándar NCTM 1)
Las matemáticas como medio de comunicación (Estándar NCTM 2).
Las matemáticas como razonamiento (Estándar NCTM 3)
Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12)
Posibilidades de ampliación
Más trabajo con la geometría de los poliedros (“Sólidos arquimedianos”, y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Comentar las demostraciones de las fórmulas matemáticas.
Sólidos platónicos II (Conceptos intermedios)
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Conceptos de Matemáticas y Filosofía
Objetivo:
Los alumnos construirán los cinco sólidos platónicos regulares con el Sistema Zome. Aprenderán la historia de los sólidos y verán su presencia en la naturaleza, en objetos realizados por el hombre y en la filosofía.
Requisitos previos
Conocimiento de los polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir una figura bidimensional frente a una tridimensional (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Estudio de “Sólidos platónicos I”.
Tiempo necesario
Una clase de 45-60 minutos.
Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.
Tres o cuatro paquetes de varillas verdes adicionales del Sistema Zome, si es posible.
Los vértices realizados con papel y con el Sistema Zome durante la lección “Sólidos platónicos I”
 Ejemplos de imágenes de cristales, virus y protozoos ameboides (pueden encontrarse en internet)
Procedimiento
Forma los mismos grupos de la lección “Sólidos platónicos I” y reparte las figuras que construyeron entonces.
¿Cómo podemos completar los sólidos a partir de los vértices que tenemos construidos? ¿Cuántos sólidos podemos construir basados en los cinco vértices? ¿Cuál será la mejor forma de hacerlo? Explica a los alumnos la definición depoliedro regular. Haz que construyan los sólidos completos, siguiendo las respuestas dadas a las preguntas.
Los alumnos que no tengan varillas adicionales verdes del Sistema Zome pueden encontrar problemas al construir el tetraedro o el octaedro. Se puede hacer un tetraedro irregular mediante un triángulo equilátero azul como base y completando la parte de arriba con varillas rojas. Se puede hacer un octaedro irregular mediante un rectángulo con varillas azules y rojas, y completándolo por arriba y por abajo con varillas rojas y azules. Ambos sólidos pueden ser construidos como regulares si se utilizan las varillas verdes.
Agrupa las figuras por la forma de sus caras y di sus nombres. ¿Cómo llamamos a las figuras geométricas? ¿Cuántas caras tienen los cinco sólidos?
Nombre del sólido
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Nº de caras
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Figura de los lados
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| Tetraedro | 4 | Triángulo |
| Hexaedro (cubo) | 6 | Cuadrado |
| Octaedro | 8 | Triángulo |
| Dodecaedro | 12 | Pentágono |
| Icosaedro | 20 | Triángulo |
Historia de los Sólidos Platónicos
No se sabe quién descubrió estas figuras, pero se han encontrado juguetes con forma de dodecaedro en excavaciones de Europa, con al menos 2500 años de antigüedad. También se han encontrado imágenes de sólidos en África y Sudamérica. La primera persona que los describió de forma conjunta fue el filósofo griego Platón, alrededor del año 400 a.C. Él pensaba que los sólidos tenían propiedades mágicas asociadas a los cuatro elementos de la alquimia: tierra, aire, fuego y agua. Platón asignó un elemento a cada sólido:
Fuego - Tetraedro
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Tierra - Octaedro
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Aire - Cubo
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Agua - Icosaedro
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Platón asoció el dodecaedro al universo entero y la propiedad del éter. ¿Qué es lo que tiene cada sólido en común con su elemento?
Al astrónomo alemán del siglo XVI Johannes Kepler le fascinaban los sólidos platónicos, y creía que tenían que estar relacionados con la estructura del universo. Creó un modelo del sistema solar basado en los sólidos encajados uno dentro de otro, para explicar los tamaños de las órbitas planetarias. Kepler abandonó temporalmente este esquema al no ajustarse al tamaño real de las órbitas. Si queda tiempo, los equipos pueden intentar encajar uno dentro de otro los distintos sólidos tal como hace la teoría de Kepler.
Los cinco sólidos platónicos están presentes en la naturaleza. Por ejemplo, muchos minerales crecen siguiendo la estructura de un octaedro o un cubo. Los cristales de fluorita tienen forma de cubo o de octaedro, así que si hay muestras de fluorita en el colegio pueden mostrarse a la clase. Los esqueletos externos de las criaturas marinas microscópicas llamadas protozoos ameboides tienen forma de tetraedro. La mayoría de los virus, incluidos los que causan el sarampión, el SIDA y el resfriado común tienen forma de icosaedro. La única molécula con forma de dodecaedro (Dodecaedrano C20H20) está formada por carbono e hidrógeno, los elementos básicos de la vida.
Los sólidos siguen interesando a los científicos de hoy en día. El famoso arquitecto Buckminster Fuller basó el diseño de su cúpula geodésica en un icosaedro. ¿Por qué utilizan la naturaleza y el hombre estas figuras simétricas? Pide a los alumnos que escriban sus teorías sobre cómo están relacionados los sólidos platónicos y la naturaleza.
Evaluación
Observa a los alumnos mientras construyen las figuras y toma nota de su trabajo. Revisa sus cuadernos. Para alcanzar los contenidos mínimos de la lección, los alumnos deben construir los sólidos platónicos con el Sistema Zome. Superan ampliamente esos contenidos mínimos si escriben sobre las relaciones entre los sólidos y la naturaleza.
Estándares del NCTM
Conexiones matemáticas (Estándar NCTM 4)
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12).
Posibilidades de ampliación
Continuar trabajando con poliedros (“Sólidos arquimedianos” y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Más trabajo con mosaicos tridimensionales (“Teselas triangulares tridimensionales” y “La ciudad colmena”)
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Objetivo:
Procedimiento
Enséñales cualquier palabra o concepto que pueda ayudarles mientras hablan. Puede surgir como nuevo vocabulario: línea paralela, línea perpendicular, cara, arista, vértice y área de la superficie.
Pide a los alumnos que dibujen sus figuras bidimensionales y tridimensionales. Haz un esquema en la pizarra con las coincidencias y diferencias que los alumnos encuentren en las figuras bidimensionales. Haz otro esquema con las figuras tridimensionales.¿Cómo y por qué se diferencian las figuras entre sí? ¿Por qué algunas figuras sólo pueden construirse con determinadas varillas de colores o combinaciones de varillas?Por último, haz que los alumnos amplíen sus conocimientos de figuras bidimensionales y tridimensionales construyendo figuras tridimensionales más complejas. Identificad las diferencias entre pirámides, primas y poliedros. Pídeles que identifiquen la figura bidimensional de la que han partido. Pregúntales si han visto anteriormente objetos como las que han construido.
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