El teorema de Nicómaco

Posted by Marta MS

Hacia el año 100, el filósofo y matemático Nicómaco de Gerasa observó que:

13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2

En efecto, este diagrama lo muestra de manera clara:

Si contamos los cuadrados individuales, tenemos en total –se cuenta desde el extremo superior izquierdo, y se va descendiendo y contando los cuadrados en cada zona coloreada de diferente tono–:

1 × 12 + 2 × 22 + 3 × 32 + 4 × 42 + 5 × 52 + 6 × 62 =

= 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63.

Pero, por otro lado, el área del cuadrado completo es claramente:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2.

Así,  13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2.

Este argumento sigue siendo válido al cambiar 6 por un número natural n cualquiera.

Más información:

• Nicomachus’s Theorem, Wolfram MathWorld
• A visual proof of Nicomachus’s Theorem
• Loren Shure, Nicomachus’s Theorem, Matlab Central, 2010