martes 12.may.2015 por Jesús Hidalgo Bravo2 Comentarios
2.147.483.647 o lo que es lo mismo, dos mil ciento cuarenta y siete millones cuatrocientos ochenta y tres mil seiscientos cuarenta y siete. ¿Por qué tiene este número su propia páginaen la Wikipedia? Se trata del octavo número primo de Mersenne pero esto no os dirá nada. Antes de que dejéis de leer os diré que esta aparentemente irrelevante y azarosa cifra es capaz de hacer explotar en segundos un cohete Ariane 5 y, literalmente, “romper” el contador de visitas del Gangyang style, el vídeo más viral de la historia de YouTube.
El 4 de junio de 1996, 370 millones de dólares en tecnología punta se esparcían sobre la Guyana Francesa después de volar tan solo 39 segundos, en una de los mayores fracasos en la historia de la ESA. El informe oficial achacaba el accidente a un “error de programación” al reutilizar código de su predecesor (el Ariane 4). Pero detrás de este error de programación se esconde nuestro amigo, el 2.147.483.647, tal y como recoge la BBC.
Imagínate que tienes un coche muy, muy viejo cuyo contador llega hasta 999.999 km. Cuando llegues al kilómetro 1.000.000 el contador volverá al valor 000.000 y vuelta a empezar. Pero en un procesador las cosas son más complicadas. Se trata del mismo tipo de circunstancia que condenó al fracaso al Ariane 5.
Los informáticos lo llaman un integer overflow, (que se podría traducir algo así como desbordamiento de entero). Resulta que el número 2.147.483.647 es el valor máximo positivo que puede almacenar un procesador de un ordenador de 32 bits, comúnmente instalado en muchos sistemas de computación, como era el caso del Ariane. El rango de valores naturales que pueden ser almacenados en esta arquitectura va del -2147483648 al 2147483647. Y fuera de ese límite empiezan los problemas.
En el caso del Ariane se descubrió que un proceso que había quedado en el software de una generación anterior de cohetes, el Ariane 4, había capturado una lectura inesperadamente alta, fuera de ese rango. El sistema no pudo manejar esa cifra e inició una secuencia de autodestrucción. Bueno, un pequeño fallo lo tiene cualquiera.
Pero no es la única travesura de nuestro número. Se sospecha que la razón por la cual la Nasa perdió contacto con la sonda espacial Deep Impact en 2013 fue que llegó a uno de estos desbordamientos de enteros.
Y el avión Boing 787 puede estar afectado por un problema similar. La propia Boeing ha detectado un error en la programación de las unidades de control de los cuatro generadores eléctricos principales, que hace que, si estos permanecen encendidos durante 248 días, entren en un modo de protección contra fallos, lo que pararía inmediatamente los cuatro generadores. Y eso, teóricamente, podría pasar en pleno vuelo. El error obliga a reiniciar periódicamente todos los Boeing 787 matriculados en los Estados Unidos. Que 248 días contados en centésimas de segundos sean equivalentes (otra vez) al número 2.147.483.647 no parece muy casual.
¿Pero qué tiene que ver el Ganyang Style –el hit perpetrado por el surcoreano Psy– en todo esto? A principios de diciembre de 2014 la canción excedió el límite posible de visitas de YouTube. Casualmente ese límite estaba situado en 2.147.483.647. Efectivamente, el reproductor fue programado utilizando un contador de valores enteros de 32 bits. Sus informáticos nunca pensaron que un video superaría esa cifra de visitas. Eso es, sin duda, porque no conocían la calidad de la música surcoreana.
Al llegar al límite, el contador de visitas pasaría a -2.147.483.647, lo que no tiene ningún sentido. Lamentablemente para muchos, los ingenieros de Google no dejaron que el hit se autodestruyera y actualizaron a un número entero de 64 bits. Ahora el límite está en 9.223.372.036.854.775.808 visitas. A prueba de virales. O al menos eso piensan en Google.
Lo que es seguro que esa cifra aguantará bastante más allá de las 03:14:07 UTC del 19 de enero de 2038. ¿Qué diantres pasará en ese momento? De nuevo el problema estará en los ordenadores de 32 bits, y más concretamente, en el reloj que usan estos sistemas. La fecha que tomaron como referencia es el 1 de enero de 1970 (no me preguntéis por qué) y el tiempo se mide como el número de segundos que han pasado desde entonces. El número máximo de segundos que pueden almacenar son 2.147.483.648, que equivale a unos 68 años, lo que llegará en enero de 2038. Entonces, el contador de esos ordenadores se saldrá del rango de los números positivos y entrará en el intervalo de los números negativos (como le pasaba al vídeo de nuestro querido PSI).
La mayoría de los programadores apuestan por que la fecha se trasladará automáticamente al 13 de diciembre de 1901, 2.147.483.648 segundos antes del 1 de enero de 1970. Es decir, tenemos otro apocalíptico efecto 2000 a la vista. Faltan 23 años pero la verdadera pregunta es: ¿de verdad hay algún procesador actual que vaya a aguantar operativo tanto tiempo?
¿Números perfectos? Hace unos días estaba con un alumno de bachillerato resolviendo unos problemas. El resultado de uno de ellos fue de 6 metros cuadrados.
— Bien Oscar! Has acertado, además es un número perfecto!
— Cómo que perfecto? Es sólo un seis barrigón (ya me tiene confianza)
— Jajaja, ¿No os han explicado qué es un número perfecto en clase?
— Qué va! ¿Qué significa?
A veces me pregunto porqué cuesta tanto mostrar la belleza de las matemáticas, cuando esta se nos presenta en muchos ejemplos en nuestra vida diaria. Creo que los alumnos disfrutarían más en sus clases.
Hoy me gusta mucho la historia. De pequeño la detestaba porque recuerdo que me hacían memorizar unos recuadros resumen al final del tema. ¿A ti también? ¡Cuánto nos perdimos entonces! Menos mal que hoy hay buenos documentales …
Siento que hoy muchos chavales aborrecen las mates por razones similares. Ahí lo dejo.
Números perfectos
Para muchos alumnos sin dudarlo, su número perfecto sería el 10.
Los pitagóricos tenían otra concepción del número perfecto y creían que el 10 podía serlo porque el número de primos entre 1 y 10 (2,3,5,7) era igual al de no primos (4,6,8,9), y este era el número más pequeño que tenía esta interesante propiedad.
Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es un número perfecto.
Las propiedades exclusivas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en sus Elementos y estudiados a fondo cuatro siglos después por Nicómaco.
¿Piensas que hay muchos números perfectos?
El primer número perfecto es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3. 1+2+3=6 Los pitagóricos estaban tan encantados con el número 6 y con la forma en que sus partes encajaban juntas que lo llamaron “matrimonio, salud y belleza”
El segundo número perfecto es el 28. Lo comprobamos fácilmente sumando sus divisores 1+2+4+7+14=28.
Estos dos números, ellos solitos, son la base de la perfección en el maravilloso mundo de los números. ¿Por qué? Porque todo número perfecto par siempre acaba en 6 o en 28.
Tenemos que “saltar” hasta el 496 para encontrar otro número perfecto. Compruébalo tu mismo : 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
Entre los primeros 30 millones de números sólo encontrarás 4 números perfectos! Te dejo el cuarto por si quieres comprobar su perfección. El 8.128.Aquítienes una lista de los números perfectos. Como verás los primeros cinco ya se conocían en el siglo XVI.
¿Hay relaciones geométricas al hablar de números perfectos?
A Pitágorasy sus discípulos, les encantaban las conexiones geométricas. Y es allí donde se encuentra la perfección. Porque todos los números perfectos son números hexagonales; los más grandes siempre se pueden disponer en torno a un collar hexagonal. Como puedes ver en la siguiente imagen, podemos representar al número 28 como un número hexagonal. Viva la geometría!
Y la naturaleza que es muy sabia también utiliza los hexágonos. Sí, las colmenas de las abejas!
La forma más eficiente de cubrir el plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Rellenar el plano de la forma más eficaz significa que a igualdad de área con otro “rellenado” el perímetro total será menor.
Bien saben las abejas que los hexágonos son las formas más eficaces para construir los paneles de miel (usando la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas).Esto mismo pensabaPappus de Alejandría (s. III d.C), pero tuvieron que pasar muchos siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999 lo que hoy se conoce como el teorema del panal.
¿Quieres sonreír? Te recomiendo que veas este monólogo sobre teoremas y el amor del genial Eduardo Sáenz de Cabezón, donde habla de Pappus y las abejas.
Los números de Mersenne
Un número de Mersenne se construye a partir de las potencias de 2. Siempre tiene la forma \(2^{n}-1\).Por ejemplo para n=3, se obtiene el número 7. Enseguida podrás comprobar que siempre son números impares.
Y aquí entrar a jugar los omnipresentes números primos. Porque sólo aquellos números de Mersenne que también son primos (indivisibles!), son la clave para construir números perfectos.
Números primos de Mersenne
Mersenne sabía que sólo podía obtener un número primo si la potencia n era un número primo. Pero ¿bastaba con eso? No! Los números primos no son tan sencillos …
Por ejemplo, para el un número primo 11 se obtiene que \(2^{11}-1=2.047=23\cdot 89\) , por tanto no es primo.
Es decir, tampoco hay ningún patrón ni regla establecida. En la recta numérica no es nada fácil encontrar esta clase de números. Entre los primeros cien mil números sólo se encuentran 5 primos de Mersenne.
La serie de los primos de Mersenne comienza con: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071,…
Observa que los números perfectos se pueden obtener como la mitad del producto entre un primo de Mersenne y el número que le sigue. Aquí puedes ver algunos ejemplos para obtener estos números admirables:
Una forma de obtener números perfectos
El gran Leonhard Euleraportó el octavo primo de Mersenne en el año 1732. Es el siguiente \(2^{31}-1=2.147.483.647\)
Gracias al uso de potentes ordenadores, hasta la fecha se han descubierto 45 números primos de Mersenne.
Números perfectos impares
¿Se hallará alguna vez algún número perfecto impar? Nadie no sabe. Parecería poco menos que un milagro que apareciera por las condiciones que tendría que cumplir. Nadie ha podido demostrar que no existan, pero a veces la intuición falla …
autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica Artículo extraído de cultura científica.com
Esta semana, navegando por la red en busca de cierta información sobre el número de oro, acabé llegando a la página de Aston Martin, el coche del agente secreto 007, James Bond, desde que apareció por primera vez en la película “Goldfinger” (1964) hasta la que es la última entrega en la actualidad, “Skyfall” (2012). En esta página se afirma que la utilización de la razón áurea en los diseños de los coches Aston Martin es uno de los elementos que contribuye a su perfección,… “la razón áurea está en el corazón de cada Aston Martin”.
James Bond, interpretado por Sean Connery, montó su primer Aston Martin en el film “Goldfinger”
Si navegamos por la web de Aston Martin tres son los modelos en los que se indica explícitamente que se ha hecho uso de la divina proporción en su diseño, el modeloRapide S (2013-2015), el nuevo modelo DB9 (2014) y el modelo V8 Vantage (2013).
Aunque quizás sea la razón áurea uno de los conceptos matemáticos más conocidos, vamos a empezar volviendo a recordar su definición (ya dedicamos una entrada de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica a hablar de un par de proporciones, la raíz de dos y la razón áurea, en concreto aquella titulada “Visitad los museos, también en clave matemática”).
En esa entrada ya se comentaba que aunque parece ser que la proporción áurea fue estudiada por los pitagóricos, la primera definición aparece en el gran libro “Los Elementos” de Euclides (aprox. 325-265 a.c.). Y dice así:
“Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando la longitud del segmento total es a la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor”.
Si suponemos que la parte mayor del segmento tiene longitud 1 y el segmento x, entonces la parte menor es x – 1, de donde la condición para determinar el punto del segmento que lo divide en media y extrema razón es
y operando nos queda la ecuación de segundo grado . Cuya solución positiva, haciendo uso de la conocida fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, es igual a
Esta sencilla razón es la que posteriormente acabaría llamándose número de oro, razón áurea o divina proporción, y que se suele denotar por la letra griega phi, .
Y por lo tanto, un rectángulo, en particular, el lienzo de un cuadro, se dice que es un rectángulo áureo si la proporción entre su ancho, p, y su alto, q, es precisamente la razón áurea, . En la mencionada entrada del Cuaderno de Cultura Científicase pueden ver además algunas propiedades de la divina proporción y su presencia en algún cuadro.
Construcción de un rectángulo áureo con un compás a partir de un cuadrado
Pero lo que nos interesa hoy aquí es esa idea que maneja el fabricante de automóviles británico Aston Martin, según la cual la razón áurea está relacionada con la perfección y la belleza. A lo largo del siglo XX, y continúa en el siglo XXI, la divina proporción ha sido ampliamente utilizada en el mundo del arte (Juan Gris, Marcel Duchamp, Piet Mondrian, Josef Albers, Max Bill, Salvador Dalí o Maruja Mallo, entre otros), la arquitectura (Le Corbusier o Mario Botta) o el diseño (Mies Van der Rohe, Eero Saarinen o Jan Tschichold), como un medio de dotar a la obra, a través de esas medidas, de perfección y belleza.
Retrato de Germaine Raynal (1912), de Juan Gris
El origen del enorme éxito de este concepto matemático, el número de oro, está seguramente en los trabajos del físico y psicólogo alemán Gustav Fechner (1801-1887) sobre la belleza del rectángulo áureo, los estudios sobre las proporciones dinámicas del artista canadiense Jay Hambidge (1867-1924), pero sobre todo, los libros “Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las artes” (1927) y “El número de oro” (1931) del polifacético rumano Matila Ghyka (1881-1965), y que tuvieron un gran impacto en el mundo de la cultura. Independientemente de la veracidad de lo expuesto en esos trabajos (tema al que dedicaremos alguna entrada en el futuro), lo cierto es que calaron muy hondo en la sociedad, y sobre todo, en el mundo del arte. Y en esta realidad actual es en la que estamos interesados en la presente entrada.
Pero volviendo a la presencia de la divina proporción en los coches Aston Martin, vemos que en los modelos Rapide S y el nuevo DB9, se justifica la presencia de esta proporción, e incluso se acompaña con unas imágenes indicando el uso de la misma en el diseño exterior de los coches.
Para empezar, en el modelo Rapide S hay un apartado bajo el nombre “Arrebatadoras proporciones” que dice lo siguiente:
“Breathtaking proportions: The ‘Golden Ratio’ sits at the heart of every Aston Martin. Balanced from any angle, each exterior line of Rapide S works in concert and every proportion is precisely measured to create a lithe, pure form. Our engineering follows the same principle. A near perfect weight distribution ensures Rapide S is balanced in form and balanced in function”.
Como decíamos al principio, está dando una gran importancia a la proporción áurea en el diseño de los Aston Martin, al decir que “la razón áurea está en el corazón de cada Aston Martin” y continúa diciendo que en el diseño del model Rapide S “cada proporción está medida con precisión para crear una forma ágil y pura”.
Imagen del modelo Rapide S de Aston Martin que aparece en su página web, indicando las proporciones áureas en el diseño exterior de este modelo
O en el nuevo modelo DB9 de Aston Martin se dice:
“Perfectly proportioned: Every inch of DB9′s form is designed for elegance and balance. The simple beauty of nature guides the design of DB9, with the ‘golden ratio’ setting all proportions. The result is a profile where every line, dimension and proportion works in harmony. Combine this with the near perfect weight distribution, provided by a lower engine placement, and you have a DB9 balanced on sight and in experience”.
Vemos de nuevo la importancia que se le da a la proporción, a la armonía, de la mano de la razón áurea. Podemos leer que “la sencilla belleza de la naturaleza guía el diseño del DB9, con la razón áurea marcando todas las proporciones” y que “el resultado es un perfil donde cada línea, dimensión y proporción funcionan en armonía”.
Las proporciones áureas en el diseño exterior del nuevo modelo DB9 de Aston Martin, según aparece en la página web de la compañía Aston Martin
Como decíamos anteriormente, este ejemplo de la presencia de la razón áurea en los diseños (o, al menos, en la explicación de los mismos) de los coches Aston Martin, no es más que un ejemplo del interés que hoy en día tienen artistas y diseñadores en esta proporción. Y vamos a continuar con otro ejemplo muy visual, el libro “Golden Meaning. Fifty-five graphics experiments” (GraphicDesign, 2014). En el libro se recogen 55 obras (notemos que el número 55 es un número de la sucesión de Fibonacci, que es una sucesión en la que cada número se obtiene como suma de los dos anteriores 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… y que aparece, por ejemplo, en la filotaxis y en el arte (véase “¡Póngame media docena de fibonaccis!”); esta sucesión está fuertemente relacionada con la divina proporción, puesto que los cocientes de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13,… convergen al número phi) de diseñadores, tipógrafos y artistas, que intentan comunicar, explorar o explicar la proporción áurea. La introducción del libro está escrita por el divulgador de las matemáticas Alex Bellos, autor del libro “Alex en el país de los números” (Grijalbo, 2011). Cada diseño gráfico se acompaña además con una explicación de su autor.
Portada del libro “Golden Meaning. Fifty-five graphics experiments”
Veamos algunos ejemplos. El primero que mostramos se debe a los diseñadores gráficos Bibliothèque , que nos muestran lo que podíamos denominar la “temperatura áurea” y la “hora áurea”. Este primer ejemplo se apoya directamente en la definición de la divina proporción. En el primero, el mercurio estaría marcando la temperatura tal que divide al segmento de posibles temperaturas “en media y extrema razón”. En el caso del reloj, las agujas pequeña (para las horas, y situada en las 12) y grande (la de los minutos) forman el ángulo áureo, que no es más que el ángulo que divide a la circunferencia, de hecho al segmento 0-360º, de acuerdo con la sección áurea. Si el ángulo es x, el ángulo opuesto es 360º-x, y su cociente será el número de oro (360º-x)/x= 1,6180339887.., de donde el ángulo es aproximadamente x = 137,5º. Este ángulo tiene una gran importancia en la filotaxis, y en particular, en la distribución de las semillas en las cabezas de los girasoles, pero ya hablaremos de ese tema en alguna otra ocasión. Pero volviendo al reloj… ¿ qué hora será la que marca ese reloj? Si tenemos en cuenta que una vuelta entera de la aguja grande son 60 minutos, entonces la aguja grande está marcando casi 23 minutos, luego son las 12:23.
Diseño de los diseñadores gráficos Bibliothèque para el libro “Golden Meaning”
El segundo ejemplo que mostramos aquí, del ilustrador Laurence Zeegen, es muy sencillo y está relacionado con el concepto de rectángulo áureo. En él se puede ver cómo un hombre, que como dice su autor podría ser un pintor, un profesor de arte o un decorador, está pintando con una brocha un rectángulo áureo.
Diseño de Laurence Zeegen para el libro “Golden Meaning”
Para los siguientes diseños que queremos mostrar, necesitamos recordar la red de cuadrados y rectángulos áureos, asociados a un rectángulo áureo inicial, así como la espiral áurea que se genera a partir de la misma. Si le damos la vuelta a la construcción que hemos visto anteriormente de un rectángulo áureo a partir de un cuadrado (véase la imagen), resulta que cualquier rectángulo áureo puede descomponerse en un cuadrado y un rectángulo áureo más pequeño. Y si continuamos esta descomposición con este nuevo rectángulo áureo, se construye un entramado de cuadrados y rectángulos áureos dentro del rectángulo inicial, como se muestra en la imagen.
Red de cuadrados y rectángulos áureos dentro de un rectángulo áureo inicial
A partir de esta descomposición se construye la espiral áurea como unión de arcos de circunferencias dibujamos sobre el entramado anterior (véase la siguiente imagen).
Espiral áurea
Relacionado con el concepto de espiral áurea y la división del rectángulo áureo en un entramado de cuadrados y rectángulos, está el trabajo de los diseñadores gráficos polacos Homework, que lleva por título “Golden ass” (culo áureo). Además, el “culo áureo” está acompañado de una tipografía al estilo de los años 1970 realizada con los trozos de la espiral.
“Golden ass” –culo áureo- de los diseñadores gráficos polacos Homework
El diseñador inglés Adrian Talbot también diseña una tipografía especial para este libro, basada en el rectángulo áureo, y más concretamente en la descomposición en cuadrados y rectángulos.
Tipografía de Adrian Talbot para el libro “Golden Meaning”
La diseñadora francesa, afincada en Londres, Margot Lombaert también utiliza la espiral áurea, y las circunferencias que dan lugar a la misma, en su diseño para el libro “Golden Meaning”.
Obra de Margot Lombaert
Explicación de Margot Lombaert de su diseño para el libro “Golden Meaning”. Menciona la espiral Spira mirabilis de Jacob Bernoulli, que es la espiral logarítmica, pero que sin embargo no es igual a la espiral áurea, aunque esta nos pueda recordar algo a la Spira mirabilis
Y terminamos con el interesante diseño del austriaco Tomi Vollauschek que incluye los 10.000 primeros decimales del número de oro o las espirales áureas.
Diseño de Tomi Vollauschek para el libro “Golden Meaning”
Astérix cumple hoy 55 años: creado por René Goscinny (guion) y Albert Uderzo (dibujo), este personaje de cómic apareció por primera vez el 29 de octubre de 1959 en la revista Pilote.
. Cuya solución positiva, haciendo uso de la conocida fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, es igual a
.
entre su ancho, p, y su alto, q, es precisamente la razón áurea, 
. En la mencionada entrada del Cuaderno de Cultura Científicase pueden ver además algunas propiedades de la divina proporción y su presencia en algún cuadro.
